A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN.

Bạn đang xem: Bài tập phép vị tự lớp 11

1. Định nghĩa.

Cho điểm

*
và một số thực
*
. Phép biến hình biến mỗi điểm
*
thành điểm
*
sao cho
*
được gọi là phép vị từ tâm
*
, tỉ số
*
. Kí hiệu
*

Vậy

*
.

2. Biểu thức tọa độ.

Trong khía cạnh phẳng tọa độ, cho

*
,
*
, gọi
*
thì

*
.

3. Tính chất:

- Nếu
*
thì
*
và
*
.- Phép vị trường đoản cú tỉ số k.- Biến bố điểm thẳng hàng thành bố điểm với bảo toàn máy tự giữa cha điểm đó.- đổi thay một con đường thẳng thành con đường thẳng thành một đường thẳng tuy nhiên song hoặc trùng với mặt đường thẳng vẫn cho, trở thành tia thành tia, biến chuyển đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
- đổi thay đường tròn có buôn bán kính
*
thành con đường tròn có chào bán kính
*

4. Vai trung phong vị trường đoản cú của hai tuyến phố tròn.

Định lí:Với hai đường tròn bất kì luôn luôn có một phép vị tự trở thành đường tròn này thành con đường tròn kia.

Tâm của phép vị từ bỏ này được call là trung tâm vị tự của hai đường tròn.

Cho hai đường tròn

*
và
*
:

+ Nếu
*
thì những phép vị tự
*
biến
*
thành
*
.+ Nếu
*
và
*
thì các phép vị tự
*
và
*
biến
*
thành
*
. Ta gọi
*
là trung tâm vị tự quanh đó còn
*
là chổ chính giữa vị tự vào của hai tuyến phố tròn.


Nếu Nếu

*
và
*
thì có
*
biến
*
thành
*
.


B. BÀI TẬP.

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP VỊ TỰ.

Phương pháp:

Dùng định nghĩa, đặc thù và biểu thức tọa độ của phép vị tự.

Ví dụ 1.Trong khía cạnh phẳng

*
, mang lại đường thẳng
*
có phương trình
*
. Hãy viết phương trình của mặt đường thẳng
*
là ảnh của
*
qua phép vị tự tâm
*
tỉ số
*
.

Lời giải:

Cách 1:Lấy

*
.

Gọi

*
. Theo biểu thức tọa độ ta có

*
!! ext .0\y"=-2y+ ext !!!! ext .0endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylx=-frac12x"\y=-frac12y"endarray ight." />.

Thay vào

*
ta được
*

Vậy

*
.

Cách 2:Do

*
song tuy vậy hoặc trùng với
*
nên phương trình bao gồm dạng :
*
. Lấy
*
thuộc
*
. Gọi
*
ta có
*
. Cầm cố vào
*
ta được
*
.

Vậy

*
.

Ví dụ 2.Trong phương diện phẳng

*
, mang đến đường tròn
*
. Tìm ảnh của mặt đường tròn
*
qua phép vị từ tâm
*
tỉ số
*

Lời giải:

Đường tròn

*
có tâm
*
, buôn bán kính
*
.

Gọi

*

*
.

Gọi

*
là hình ảnh của
*
qua phép vị tự
*
thì
*
có tâm
*
, buôn bán kính
*
.

Vậy

*
.

Bài toán 02: TÌM TÂM VỊ TỰ CỦA nhì ĐƯỜNG TRÒN.

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp tìm chổ chính giữa vị tự của hai đường tròn trong bài xích học.

Ví dụ 1.Cho hai đường tròn

*
và
*
đựng nhau, với
*
. Tìm trung khu vị tự của hai đương tròn
*
và
*
.


Lời giải:

Do

*
và
*
nên gồm hai phép vị tự
*
và
*
biến
*
thành
*
.


Ví dụ 2.Cho hai tuyến đường tròn

*
và
*
. Tìm trung ương vị tự của hai tuyến phố tròn.

Lời giải:

Đường tròn

*
có tâm
*
,bán kính
*
; đường tròn
*
có tâm
*
, cung cấp kính
*
. Do
*
và
*
nên gồm hai phép vị tự
*
và
*
biến
*
thành
*
. Gọi
*

Với

*
khi đó
*
.

*
.

Tương từ với

*
, tính được
*
.

Bài toán 03: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.

Phương pháp:

Để dựng một hình

*
nào đó ta quy về dựng một vài điểm ( đủ để xác định hình
*
) lúc ấy ta xem các điểm yêu cầu dựng chính là giao của hai đường trong đố một đường gồm sẵn và một đường là ảnh vị từ bỏ của một mặt đường khác.

Ví dụ 1.Cho hai điểm

*
cố định và hai tuyến phố thẳng
*
. Dựng tam giác
*
có đỉnh
*
thuộc
*
và trọng tâm
*
thuộc
*
.

Lời giải:

Phân tích:

Giả sử đang dựng được tam giác

*
thỏa mãn yêu cầu bài xích toán.

Gọi

*
là trung điểm của
*
, theo đặc điểm trọng trung ương ta có
*

*
mà
*

Với

*
là hình ảnh của
*
qua
*
.

Lại có

*

Cách dựng:

Dựng đường thẳng
*
ảnh của
*
qua
*
.Dựng giao điểm
*
.Dựng giao điểm
*
.

Hai điểm

*
là hai vấn đề cần dựng.

Chứng minh:

Rõ ràng từ phương pháp dựng ta có

*
;
*
là trung điểm của
*
và
*
là trọng tâm tam giác
*
.

Biện luận:

Số nghiệm hình thông qua số giao điểm của

*
và
*
.

Ví dụ 2.Cho hai tuyến phố tròn đồng tâm

*
và
*
. Xuất phát điểm từ một điểm
*
trên đường tròn lớn
*
hãy dựng con đường thẳng
*
cắt
*
tại
*
và cắt
*
tại
*
sao cho
*
.

Lời giải:

Phân tích:


Giả sử đang dựng được đường thẳng

*
cắt
*
tại
*
và
*
tại
*
sao cho
*
, khi đó
*
.

Mà

*
nên
*
với mặt đường tròn

*
là hình ảnh của
*
qua
*
.

Lại có

*
nên
*
.


Cách dựng:

Dựng mặt đường tròn
*
ảnh của con đường tròn
*
qua phép vị tự
*
.Dựng giao điểm
*
của
*
và
*
.Dựng mặt đường thẳng
*
đi qua
*
cắt các đường tròn
*
tại
*
tương ứng.

Đường thẳng

*
chính là đường thẳng phải dựng.

Chứng minh:

Gọi

*
là trung điểm của
*
thì
*
cũng là trung điểm của
*
.

Vì

*
nên
*
, mặt khác
*
và
*
có phổ biến trung điểm
*
nên
*
*
suy ra
*
. Vậy
*
.

Biện luận:Gọi

*
lần lượt là cung cấp kính các đường tròn
*
và
*
ta có:

Nếu
*
thì gồm một nghiệm hình.Nếu
*
ta rất có thể quy về search tập hợp điểm
*
và tìm một phép vị tự
*
nào đó sao cho
*
suy ra quỹ tích điểm
*
là hình ảnh của quỹ tích
*
qua
*
.

Ví dụ 1.Cho đường tròn

*
và một điểm
*
nằm đi ngoài đường tròn sao cho
*
,
*
là một điểm thay đổi trên đường tròn
*
. Phân giác trong góc
*
cắt
*
tại điểm
*
. Tra cứu tập hợp điểm
*
khi
*
di rượu cồn trên
*
.

Lời giải:


Theo đặc thù đường phân giác ta có

*

*

*


*
, mà
*
thuộc đường tròn
*
nên
*
thuộc
*
ảnh của
*
qua
*
. Vậy tập vừa lòng điểm
*
là
*
ảnh của
*
qua
*
.

Ví dụ 2.Cho tam giác

*
. Qua điểm
*
trên cạnh
*
vẽ các đường tuy vậy song với những đường trung tuyến
*
và
*
, khớp ứng cắt
*
và
*
tai
*
. Kiếm tìm tập hòa hợp điểm
*
sao cho
*
là hình bình hành.

Lời giải:


Gọi

*
,
*
và
*
là giữa trung tâm của tam giác
*
.

Ta có

*
*
.

Tương từ bỏ ta có

*


Từ kia ta có

*
Do đó
*
, mà
*
thuộc cạnh
*
nên
*
thuộc hình ảnh của cạnh
*
qua
*
đoạn chính là đoạn
*
.

Vậy tập phù hợp điểm

*
là đoạn
*
.

Bài toán 05: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI TOÁN.

Ví dụ 1.Trên cạnh

*
của tam giác
*
lấy các điểm
*
sao cho
*
, những điểm
*
lần lượt là trung điểm của những cạnh
*
, gọi
*
là giao điểm của
*
và
*
,
*
là giao điểm của
*
với
*
. Hội chứng minh
*
.

Lời giải:


Gọi

*
là giữa trung tâm của tam giác
*
.

Ta có

*
là đường trung bình của tam giác
*
nên
*
, mặt khác
*
là trung điểm của
*
nên
*
là trung điểm của
*
.

Ta có

*
.


Tương tự

*
.

Vậy

*
và
*
suy ra
*
.

Ví dụ 2.Cho tam giác

*
. Gọi
*
lần lượt là trung điểm của
*
. Đường tròn
*
ngoại tiếp tam giác
*
cắt
*
tại
*
. Gọi
*
là hình chiếu vuông góc của
*
trên
*
. Bệnh minh
*
thẳng hàng.

Xem thêm: Tài Liệu Đề Kiểm Tra 1 Tiết Sinh 11 Hk1, Đề Thi Sinh Học Lớp 11 Học Kì 1 Năm 2021

Lời giải:

Xét phép vị tự

*
ta có

*
nên
*
do đó
*
biến tam giác
*
thành tam giác
*
, cho nên vì vậy phép vị trường đoản cú này thay đổi đường tròn
*
thành con đường tròn
*
ngoại tiếp tam giác
*
.